Witamy na M-Forum.

[ChrisSk8er]

zbadaj monotoniczność ciągu :
a) an=4/n+2

b)n-n do 2 potęgi

c) n+9/n+4

d)4n+5/n+2

[Raymond]

zbadaj monotoniczność ciągu :
a) an=4/n+2
b)n-n do 2 potęgi
c) n+9/n+4
d)4n+5/n+2

Wszystko o monotoniczności ciągu masz pod tym linkiem ;) Stosując się do tego nie powinieneś mieć większych problemów z rozwiązaniem tych podpunktów. Będę jednak "dobry" i rozwiążę Ci je wyjątkowo :P W nawiasach kwadratowych będę wpisywał cyfry bądź znaki, które powinny znaleźć się nad lub pod liczbą (powinieneś wiedzieć, co gdzie powinno być, czyli "nad" cyfry oznaczające potęgę, "pod" znak kolejnego ciągu).

Monotoniczność uzyskujemy, co jest też w powyższym linku, odejmując następny wyraz ciągu od aktualnego (a[n+1]-a[n]) i dzięki temu wiemy, jaki to jest rodzaj ciągu (rosnący, malejący, stały itd.) w zależności od tego, czy jest większy, równy, mniejszy od zera, czyli monotoniczność. Możemy też po prostu wyniki dla n i n+1 przyrównać i również będziemy znać monotoniczność ;)
a. a[n] = 4/n+2, a więc dla a[n+1] = 4/(n+1)+2 (w następnym ciągu tam gdzie n podstawiamy n+1), czyli krócej a[n+1] = 4/n+3
Podstawiamy następnie za n jakąkolwiek liczbę. Przykładowo: dla n = 1:
a[n] = 4/n+2 = 4/1+2 = 4/3
a[n+1] = 4/n+3 = 4/1+3 = 4/4 = 1
4/3 > 1, więc ciąg jest malejący.

b. a[n] = n-n[2], więc dla a[n+1] = (n+1) - (n+1)[2] = (n+1) - (n[2]+2n+1) = n+1 - n[2]-2n-1 = n[2]-n
dla n = 1:
a[n] = n-n[2] = 1 - 1[2] = 1 - 1 = 0
a[n+1] = n[2]-n = 1[2]-1 = 1 - 1 = 0
0 = 0, więc ciąg jest stały.

c. a[n] = n+9/n+4, więc dla a[n+1] = (n+1)+9/(n+1)+4 = n+10/n+5
dla n = 1:
a[n] = n+9/n+4 = 1+9/1+4 = 10/5 = 2
a[n+1] = n+10/n+5 = 1+10/1+5 = 11/6 = 1 i 5/6
2 > 11/6, więc ciąg jest malejący.

d. a[n] = 4n+5/n+2, więc dla a[n+1] = 4(n+1)+5/(n+1)+2 = 4n+4+5/n+3 = 4n+9/n+3
dla n = 1:
a[n] = 4n+5/n+2 = 4*1+5/1+2 = 9/3 = 3
a[n+1] = 4n+9/n+3 = 4*1+9/1+3 = 13/4 = 3 i 1/4
3 < 13/4, więc ciąg jest rosnący.

Mam nadzieję, że nic nie pomieszałem i wszystko jest zrozumiałe ;)